转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．

1．转化与化归的原则

(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决．

(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．

(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．

(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．

2．常见的转化与化归的方法

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：

(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．

(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．

(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．

(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．

(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．

(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．

(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．

(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．

(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．

3．转化与化归的指导思想

(1)把什么问题进行转化，即化归对象．

(2)化归到何处去，即化归目标．

(3)如何进行化归，即化归方法．

化归与转化思想是一切数学思想方法的核心．

本文着重从以下四个方面来阐述转化与化归数学思想方法：

一、函数、方程与不等式之间的转化与化归

例1、设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．

思维启迪：(1)求f′(x)＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)>0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.

解：　(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．

由已知a>1，∴2a>2，

∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，

∴当x∈(－∞，2)和x∈(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，

当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减．

综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数．

(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．

f(2a)＝(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a

＝－a3＋4a2＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，

f(0)＝24a.

由题设知

即

解得1<a<6.故a的取值范围是(1,6)．

探究提高  函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．

二、正难则反的转化与化归

例2、若下列方程：，，=0中至少有一个方程有实根.   试求实数a的取值范围.

分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种：三个方程均没有实数.先求出反面情况时a的范围，取所得范围的补集就是正面情况的答案.

解：设三个方程均无实根，则有  

解得

所以当时，三个方程至少有一个方程有实根.

三、数形之间的转化

例3、讨论方程的实数解的个数.

分析:此题若从代数的角度去解恐怕是无从下手,我们不妨利用数形结合来考虑看会怎么样？此题可转化为求函数图象与函数图象的交点个数的问题

解:作出函数的图象,如右图所示,函数为水平直线,由图形可知:当时,解的个数是0;  当或时,解的个数是2; 当时,解的个数是4; 当时, 解的个数为3;

评注：注意数形的相互转化，使数形达到和谐的统一，以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵，便于发现和解决实质问题。某些代数问题、三角问题，往往潜在着几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系几何直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。

四、特殊与一般的相互转化

例4、在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_____．

解析：这里顶点是椭圆上的动点，所以、、不易确定。但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为点在特殊位置（椭圆短轴端点）来处理较易。当然：注意到A、C是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果.

答案：顶点取椭圆短轴端点，即 ，则，，，

点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用。