几则教材中的数列变式题

宿迁市宿豫区实验高级中学   朱印明

高考命题的原则是“取材于课本，但又不拘泥于课本”，每一个高考题目都有它的背景，其中蕴含的知识、方法、思想，就在我们非常熟悉的教材中，教材是高考试题的源泉，许多高考试题就是教材典型例习题的变式题。因此，在高考复习中，必须重视教材，挖掘教材，注意教材知识的生长点，灵活运用教材，才能提高复习效率，达到事半功倍的效果。下面从苏教版教材中选取几则数列题，供同学们参考.

一、有关通项问题

题型一  利用与关系求通项

原题（苏教版必修5第44页习题2.2（2）第8题）已知数列的前项和，求出这个数列的通项公式.

变式（2011年第一学期期末北京市东城区示范学校高三数学考试理19）设数

列的前项和为，且 ．

（1）求数列 的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．

解：(1) 当时，．　       

　  当时，．                      

   ∵不适合上式,∴　　        （2）(略)

题型二  解方程组求通项

原题（苏教版必修5第41页练习第4题）在等差数列中，，求数列的通项公式

变式 （2011年第一学期期末江苏省苏北四市高三数学考试17）在各项均为正数的等比数列中，已知，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和.

解：（1）设公比为，由题意得，

且，即  解之得或（舍去），

所以数列的通项公式为，.

（2）解略 数列的前项和为

题型三 利用递推关系式求通项

原题（苏教版选修1-2第41页习题2.1第2题）已知数列满足,求数列的通项公式.

变式（2011年第一学期期末北京市房山区期末考试理20）已知数列中，，设．

（Ⅰ）试写出数列的前三项；（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

解：（Ⅰ）由，得，.

 由，可得，，.

（Ⅱ）证明：因，故.  

显然，因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即.      解得.   

题型四 利用叠加法求通项

原题（苏教版必修5第36页）等差数列通项公式的证明

变式（2011年北京市石景山区期末统测）已知数列满足，，则数列的通项公式为              ， 的最小值为          ．

答案：，.

二、有关等差、等比数列性质问题

题型一 足数和定理

原题1（苏教版必修5第38页习题2.2（1）第10题）已知是等差数列，当时，是否一定有？

原题2（苏教版选修1--2第31页练习第3题）

（1）证明：在等差数列中，若，则；

（2）通过类比，提出关于等比数列的一个猜想。

变式1（广东省揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）如果等差数列中，，那么的值为（    ）A．18      B．27         C．36        D．54

解：等差数列中，，得：，

变式2（2011年北京市朝阳区第一学期期末考试）设等差数列的前项和为，，则等于（ ）   A．10  B．12   C．15      D． 30       选C

题型二 数列前项和的性质

原题（苏教版必修5）如果等差数列的前项和为，那么是否成等差数列？你能得到更一般的结论吗？

变式（2011年广东省广州市高三上学期期末调研测试）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则              解：由题意，，得：

三、有关数列的求和问题 

 题型一 拆项求和

原题（苏教版必修5） 已知数列的通项公式为，求前项的和.

变式（2010山东理数）已知等差数列满足：，，的前n项和为．

（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令b_n=(nN^*)，求数列的前n项和．

解：（Ⅰ）略 ；==。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b_n===，

所以==，即数列的前n项和=

题型二  分组求和

原题（苏教版必修5例3）求数列的前项和。

变式（2011年广东省珠海市第一学期期末考试题）已知函数的图象经过点，且对任意，都有数列满足

（1）当为正整数时，求的表达式；（2）设，求；

解：（1）

（2）由题设 若为偶数，则

若为奇数且，则，

又，即

 

                

                 

题型三  错位相减法求和

原题（苏教版必修5）等比数列前项和公式的推导

变式（2011年江苏省苏北四市第一学期期末考试题）在各项均为正数的等比数列中，已知，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和.

解：（1）数列的通项公式为，

（2）由（1）可得，所以所以，

所以，

两式相减得：

                 

所以 数列的前n项和为      

题型四  倒序相加法求和

原题（苏教版必修5）等差数列前项和公式的推导

变式(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)函数对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝12.

   （1）求的值；

   （2）数列的通项公式。

解：（1）令令

（2）又，

两式相加    是等差数列

从以上各例可以看出，这些题与教材中的例习题不仅“形”似，还高度“神”似。这就要求我们在高三复习的任何阶段都不能脱离教材，在使用教材时，应从自身的实际和需求出发，对教材中典型的例习题要进行深入探究、合理延伸和拓展，要深挖例习题的本质，进行二次创造，变孤立的、静态的知识为有助于自身认知的、联系的、动态的知识，才能提高学习能力和学习效率，才能在以能力立意的高考中游刃有余。