例说数形结合

（朱印明  江苏省宿迁市宿豫区实验高级中学  223800）

[摘　要] 数形结合是中学数学重要思想之一，在高考中也占有极其重要的地位。在中学数学中的各个知识点中都有体现。本文就是笔者从实际教学中提取几个比较有典型例子来阐述数形结合，望能对笔者以后的教学有所提高。

[关键词]数形结合 重要思想 例题 高考

我国著名数学家华罗庚曾写过：数缺形时少知觉，形少数时难入微。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。

一、          在平面解析几何中的应用

  直线和圆的位置关系是高考中考察的一个重要知识点，涉及到点到直线的距离公式，以及如何来判断直线和圆的位置。

例1、圆  到直线 的距离等于 的点共有   个

·

分析及解：本题考察圆与直线的位置关系,若求点的个数,就要解方程组,二元二次方程组,计算量是很大的。但是,题目只要求点的个数,而不要求点的坐标,所以是不需要解出方程组的,因此,可以借助于图形去求解.

首先画出圆 的图形,

圆心 到直线 的距离为

,

所以过圆心 且与直线 平

行的直线与圆的两交点为 .即点 到直线

的距离是 ，满足题意。

又因为圆的半径是 ,设半径 垂直于已知

直线 ,则 到直线 的距离也是 ,点 也满足题意.

因此满足题意的点共有 三个。

二、在函数中的应用

   1、指数函数与对数函数的图像关于直线 对称，因此在两个图像上始终可以找到两个点的中点在直线 上。

例2、方程 的实根分别为 ，则 =      

3

3

分析及解：本题 不好求解，联想对数函数和指数函数的图象之间关系进行数形结合，以数助形可巧妙求解

令

的函数图象关于 对称，

根据题意设

两点也关于 对称

  即

2、在三角函数中，利用数形结合的思想解决一些问题可以带来很大的方便，也容易理解，使一些抽象问题形象化。

例3、函数 ，（ ）的图像与直线 有且仅有2个不同的交点，则 的取值范围是           

分析及解：本题是含有绝对值的三角函数，直接解计算有点麻烦。

1

3

根据函数解析式，画出图像，可以直观而简明的得出答案，在有时间限制的高考中就能大大节约时间，提高考试效率。

函数

由图像可知

 

 

 

3、在函数中，含有绝对值符号的题目比较难于求解，根据绝对值号的意义，需要分类讨论，运算起来，很难求出精确的解，然而根据其他的知识，把绝对值符号隐含其中，就能起到化繁为简的目的。

例4、已知关于 的方程 有四个不相等的实根，则实数 的取值范围为  

1

2

5

-2

分析及解：直接去求解，很繁很难！需要去掉绝对值符号，要去掉绝对值，需要对绝对号里面的 正负的讨论，讨论对于学生而言，不是那么太容易的，容易多解或是漏解。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。

令 。

为偶函数，画出 的函数图像

由图可知

 

 

三、在不等式中的应用

1、数列是高考每年必考的一个重点知识，他能反映一个学生学习知识的能力，从历年高考来看，对数列的考察通常情况下，有些容易，有些较难，难就难在他的综合性比较强，往往是和其他的知识综合在一起考察的。

例5、(2008四川卷,理16)设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大值为        ．

  分析及解：很多同学遇到数列问题都有想法，要么难，要么容易，只要做几步，感到式子比较烦就放弃了，多可惜，殊不知，在易用其他知识就能解出来。

   由题意得， ，

化简， ，

          得， ，

   此时，得到二元一次不等式组，

即，本题就转化到如何解这个二元一次不等式组的问题

如何解呢？自然，想到到简单的线性规划。

建立平面直角坐标系 ，画出可行域 ，

目标函数即直线 ，

令 ，即目标函数转化成

画出直线

向上平移直线 ，当直线过可行域内 点时截距最大，此时目标函数取最大值为4

即 ．

2、有时，方程题目中会将公式隐含在题目所给的式子中，比如：求直线斜率的公式等。像这类问题就可以从公式的本身出发去求解。

例6、实系数方程 的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求 的取值范围。

分析及解：这个问题表面上看是方程、不等式问题，但直接求解麻烦！由 的结构特征，联想二次函数性质及 的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。

·

令 ，

则由已知有

得到

这个二元一次不等式组的解为 内的点 的集合

由 的几何意义为过点 和点 的直线的斜率

由此可以看出：

即 的取值范围是 。

四、在方程中的应用

在方程中，有时，我们会遇到非常规的方程，解起来比较繁琐，或是无从下手，比如：超越方程。他的解我们是不好去解的，但是我们可以通过图像知道他的解的个数。

例7、求方程 的解的个数.

分析及解：此题是属于特殊方程，等号两边是不同的函数，一个是幂函数，一个是指数函数。自变量 在不同的位置，学生无从下手。那么，我们从他们的函数图像出发，在一个直角坐标系中画出。经分析，当 时，函数 的图象比 图象的增长速度要快得多。

这两个函数的图象在 时,有一个交点

·

·

·

而在 时,有两个交点

因此,方程 有三个解.

评注：在运用数形结合法帮助解题的过程中

也容易出现一些误区,例如,图形画得不够完整,不够

准确, 观察图形不够仔细,图形的选择不够合理等,都

会出现解题错误,所以,在解题时,有时还要与运算相结

合.

以上的例题只是笔者在实际教学中见到比较典型例子的代表，其实数形结合在数学教学和数学学习中占有相当比重的地位。数形结合在很多的地方都有体现，有待于笔者去发现，进一步整理、补充，完善。

 

[参考文献]

[1]普通高中数学课程标准（实验）.人民教育出版社,2003

[2]普通高中课程标准实验教科书,苏教版必修一,2007

[3]普通高中课程标准实验教科书,苏教版必修四,2007

[4]普通高中课程标准实验教科书,苏教版必修五,2007